Matlab - Calcul sur les polynômes

1- Racines d'un polynôme

2- Détermination des coefficients dun polynôme à partir des ses racines

3- Produit de polynômes

4- Fractions rationnelles : Décomposition en éléments simples

5- Représentation graphique

 

conv
produit de polynômes
residue
décomposition en éléments simples
roots
trouve les racines d'un polynôme
poly
trouve le polynôme à partir des ses racines
polyval
évalue le polynôme

 

 

1- Racines d'un polynôme

 

3x - 5x + 2 = 0

On commence par définir un " vecteur " qui contient les coefficients du polynôme :

>> p = [ 3 -5 2 ]

p =

3 -5 2

>> roots(p)

ans =

1.0000

0.6667

>> roots( [ 3 -5 2 ])

ans =

1.0000

0.6667

 

x - 4x + 4 = 0

>> p= [ 1 -4 4 ]

p =

1 -4 4

>> roots(p)

ans =

2

2

 

x + 3x + 8 = 0

>> p= [ 1 3 8 ]

p =

1 3 8

>> roots(p)

ans =

-1.5000 + 2.3979i

-1.5000 - 2.3979i

 

>> p = [ 1 2 -2 4 3 5 ]

p =

1 2 -2 4 3 5

>> roots(p)

ans =

-3.0417

0.9704 + 1.0983i

0.9704 - 1.0983i

-0.4495 + 0.7505i

-0.4495 - 0.7505i

>> format long e

>> roots(p)

ans =

-3.041684725314715e+000

9.703604093970790e-001 +1.098343294996758e+000i

9.703604093970790e-001 -1.098343294996758e+000i

-4.495180467397220e-001 +7.504870344729816e-001i

-4.495180467397220e-001 -7.504870344729816e-001i

 

polynôme à coefficients complexes :

(1+i)x + (2-5i)x + 3,5 = 0

>> format short

>> p = [ 1+i 2-5i 3.5]

p =

1.0000 + 1.0000i 2.0000 - 5.0000i 3.5000

>> roots(p)

ans =

1.7116 + 4.0248i

-0.2116 - 0.5248i

 

2- Détermination des coefficients dun polynôme à partir des ses racines

 

>> a = [ 2 1 ]

a =

2 1

>> poly(a)

ans =

1 -3 2

(cest-à-dire : x -3x +2)

 

>> a = [ 2 2 3 -5 ]

a =

2 2 3 -5

>> poly(a)

ans =

1 -2 -19 68 -60

 

>> a = [ 2+i 2-3i 5]

a =

2.0000 + 1.0000i 2.0000 - 3.0000i 5.0000

>> poly(a)

ans =

1.0000 -9.0000 + 2.0000i 27.0000 -14.0000i -35.0000 +20.0000i

 

Vérification :

>> p = ans

p =

1.0000 -9.0000 + 2.0000i 27.0000 -14.0000i -35.0000 +20.0000i

>> roots(p)

ans =

2.0000 - 3.0000i

5.0000 - 0.0000i

2.0000 + 1.0000i

 

3- Produit de polynômes

 

( x 2 )( x 1 ) = ?

 

>> p1=[ 1 -2 ]

p1 =

1 -2

>> p2=[ 1 -1 ]

p2 =

1 -1

>> conv( p1 , p2 )

ans =

1 -3 2

 

Autrement dit :

( x 2 )( x 1 ) = x -3x +2

 

(3x - 5x + 2)( x + 3x + 8) = ?

 

>> p1=[ 3 -5 2 ]

p1 =

3 -5 2

>> p2=[ 1 3 8 ]

p2 =

1 3 8

>> conv( p1 , p2 )

ans =

3 4 11 -34 16

 

Autrement écrit :

(3x - 5x + 2)( x + 3x + 8) = 3x4 + 4x3 + 11 x -34 x +16

 

4- Décomposition en éléments simples

 

p1 , p2 désignent les " pôles ".

polynôme du numérateur :

>> n =[ 6 ]

n =

6

polynôme du dénominateur :

>> d =[ 1 6 11 6 0 ]

d =

1 6 11 6 0

>> [ r , p , k ] = residue ( n , d)

r =

-1.0000

3.0000

-3.0000

1.0000

p =

-3.0000

-2.0000

-1.0000

0

k =

[ ]

 

Finalement :

 

5- Représentation graphique

 

y = f(x) = 3x - 5x + 2

 

5-1- Utilisation de la fonction plot

 

>> p = [ 3 -5 2 ]

p =

3 -5 2

Calcul de f( x = 1) :

>> polyval( p , 1 )

ans =

0

Calcul de f( x = 2) :

>> polyval( p , 2)

ans =

4

 

Création du vecteur x :

>> x = 0 : 0.01 : 2

x =

Columns 1 through 7

0 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600

Columns 197 through 201

1.9600 1.9700 1.9800 1.9900 2.0000

 

Création du vecteur y :

>> y = polyval( p , x)

y =

Columns 1 through 7

2.0000 1.9503 1.9012 1.8527 1.8048 1.7575 1.7108

Columns 197 through 201

3.7248 3.7927 3.8612 3.9303 4.0000

>> plot (x , y)

>> grid on

 

5-2- Utilisation de la fonction fplot

 

5-2-1- Première méthode

 

>> fplot ( '3*x^2 - 5*x + 2' , [ 0 2 ] )

>> grid on

 

 

5-2-2- Deuxième méthode

 

Il faut créer le fichier .m de la fonction :

>> f7(2)

ans =

4

>> f7(0)

ans =

2

>> fplot ('f7', [ 0 2] )

>> grid on

 

On peut également définir le polynôme de la manière suivante :

 

© Fabrice Sincère ; Révision 0.9.7